Question

15．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosA+a=2b．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a+b=4，當c取最小值時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出角C；
（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由條件和完全平方公式化簡后，利用基本不等式求出c的最小值，由面積公式求出△ABC的面積；
方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化簡已知的式子得到邊的關系，由余弦定理求出cosC的值，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出角C；
（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，結合條件消元后，利用一元二次函數的性質求出c的最小值，由面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，
∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）
∵A+B+C=π，
∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）
即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）
∴sinA=2sinAcosC，…（4分）
∵sinA≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，…（5分）
又∵C是三角形的內角，∴C=$\frac{π}{3}$． …（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，…（7分）
∵a+b=4，故c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=16-3ab，…（8分）
∴${c^2}=16-3ab≥16-3{（\frac{a+b}{2}）^2}=4$（當且僅當a=b=2時等號成立），…（10分）
∴c的最小值為2，故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$．…（12分）
方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，
∴$2c•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+a=2b$，…（1分）
∴b²+c²-a²+ab=2b²，即 c²=a²+b²-ab，…（3分）
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，…（5分）
又∵C是三角形的內角，∴c=$\frac{π}{3}$． …（6分）
（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4-a，
由余弦定理得，c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，…（8分）
∴c²=16-3a（4-a）=3（a-2）²+4，…（10分）
∴當a=2時，c的最小值為2，故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$． …（12分）

點評 本題考查正弦、余弦定理，三角恒等變換中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函數的性質，考查一題多解，化簡、變形能力．