Question

3．某企業投資1千萬元用于一個高科技項目，每年可獲利25%．由于企業間競爭激烈，每年底需要從利潤中取出資金200萬元進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率．經過多少年后，該項目的資金可以達到4倍的目標？

Answer 1

分析 設第n年終資金為a_n萬元，由題意可得a_n=（1+25%）a_n-1-200（n≥2），變形整理可得：a_n-800=$\frac{5}{4}$（a_n-1-800），利用等比數列的通項公式可得a_n，進而得出．

解答 解：設第n年終資金為a_n萬元，由題意可得a_n=（1+25%）a_n-1-200（n≥2），
變形整理可得：a_n-800=$\frac{5}{4}$（a_n-1-800），
故{a_n-800}構成一個等比數列，a₁=1000（1+25%）-200=1050，⇒a₁-800=250，
∴a_n-800=250×$（\frac{5}{4}）^{n-1}$，
令a_n≥4000，得$（\frac{5}{4}）^{n}$≥16，兩邊取對數可得：n≥$\frac{4lg2}{1-3lg2}$≈13，
故至少要13年才能達到目標．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、數列遞推關系、對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．