Question

13．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，側棱垂直底面，AB=4，AA₁=6，若E，F分別是棱BB₁，CC₁上的點，且BE=B₁E，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁，則異面直線A₁E與AF
所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 以C為原點，CA為x軸，在平面ABC中過作AC的垂線為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線A₁E與AF所成角的余弦值．

解答 解：以C為原點，CA為x軸，在平面ABC中過作AC的垂線為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為正三角形，側棱垂直底面，AB=4，AA₁=6，
E，F分別是棱BB₁，CC${\;}_{{1}_{\;}}$上的點，且BE=B₁E，C₁F=$\frac{1}{3}$CC₁，
∴A₁（4，0，6），E（2，2$\sqrt{3}$，3），F（0，0，4），A（4，0，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-2，2$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{AF}$=（-4，0，4），
設異面直線A₁E與AF所成角所成角為θ，
則cosθ=|$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}||\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{4}{4\sqrt{2}×5}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴異面直線A1E與AF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{10}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．