Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n；
（Ⅲ）設b_n=

Sn-3

3n

，試求數列{b_n}的最大項．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的函數特性,數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）根據數列的遞推關系即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法即可求數列{a_n}的前n項和為S_n；
（Ⅲ）求出b_n=

Sn-3

3n

的通項公式，建立不等式關系即可試求數列{b_n}的最大項．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
得

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
即{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差d=1的等差數列，
則

an

2n

=

1

2

+(n-1)=n-

1

2

，
數列{a_n}的通項公式a_n=（2n-1）•2^n-1；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n；
∵a_n=（2n-1）•2^n-1；
∴S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1；
2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ；
兩式相減得-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1-（2n-1）•2ⁿ=1+

22(1-2n+1)

1-2

-(2n-1)•2n=-3+（3-2n）•2ⁿ；
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3
（Ⅲ）∵b_n=

Sn-3

3n

，∴b_n═（2n-3）•（

2

3

）ⁿ，
由

bn≥bn+1 bn≥bn-1

，
即

(2n-3)( 2 3 )n≥(2n-1)( 2 3 )n+1 (2n-3)( 2 3 )( 2 3 )n≥(2n-5)( 2 3 )n-1

，
解得

7

2

≤n≤

9

2

，即n=4，
即數列{b_n}的最大項為b4=

80

81

．

點評：本題主要考查遞遞推數列的應用，綜合考查學生的運算能力，要求熟練掌握求和的常見方法．