Question

2．設函數f（x）=xe^a-x+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4．
（1）求a，b的值；    
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求函數的導數，根據導數的幾何意義求出函數的切線斜率以及f（2），建立方程組關系即可求a，b的值；
（2）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系即可求f（x）的單調區間．

解答 解：（1）∵y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e-1）x+4，
∴當x=2時，y=2（e-1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同時f′（2）=e-1，
∵f（x）=xe^a-x+bx，
∴f′（x）=e^a-x-xe^a-x+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=2{e}^{a-2}+2b=2e+2}\\{f′（2）={e}^{a-2}-2{e}^{a-2}+b=e-1}\end{array}\right.$，
即a=2，b=e；
（2）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe^2-x+ex，
∴f′（x）=e^2-x-xe^2-x+e=（1-x）e^2-x+e，
f″（x）=-e^2-x-（1-x）e^2-x=（x-2）e^2-x，
由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，
即當x=2時，f′（x）取得極小值f′（2）=（1-2）e^2-2+e=e-1＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，
即函數f（x）是增函數，
即f（x）的單調區間是（-∞，+∞）．

點評 本題主要考查導數的應用，根據導數的幾何意義，結合切線斜率建立方程關系以及利用函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強．