Question

20．已知一個分段函數可利用函數$S（x）=\left\{\begin{array}{l}1\;，\;x≥0\\ 0\;，\;x＜0\end{array}\right.$來表示，例如要表示一個分段函數$g（x）=\left\{\begin{array}{l}x\;，\;x≥2\\-x\;，\;x＜2\end{array}\right.$，可將函數g（x）表示為g（x）=xS（x-2）+（-x）S（2-x）．現有一個函數f（x）=（-x²+4x-3）S（x-1）+（x²-1）S（1-x）．
（1）求函數f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值與最小值；
（2）若關于x的不等式f（x）≤kx對任意x∈[0，+∞）都成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x-3\;，\;x≥1\\{x^2}-1\;，\;x＜1\end{array}\right.$，利用二次函數的單調性可求得函數f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值與最小值；
（2）在同一坐標系中作出y=f（x）與y=kx的圖象，令kx=-x²+4x-3，即x²+（k-4）x+3=0，由△=0可求得k的值，結合圖象可求得，對任意x∈[0，+∞）都成立時，實數k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x-3\;，\;x≥1\\{x^2}-1\;，\;x＜1\end{array}\right.$，
當1≤x≤4時，f（x）=-（x-2）²+1，則f（x）在[1，2]上遞增，在[2，4]上遞減；
當0≤x＜1時，f（x）=x²-1，則f（x）在[0，1）上遞增，
而f（0）=-1，f（2）=1，f（4）=-3，所以f（x）_max=f（2）=1，f（x）_min=f（4）=-3；
（2）由圖可知，

當直線y=kx與拋物線y=-x²+4x-3只有一個交點時，令kx=-x²+4x-3，即x²+（k-4）x+3=0，由△=0，得（k-4）²-12=0，得k=4±2$\sqrt{3}$，
結合圖象，可知當k≥4-2$\sqrt{3}$時，關于x的不等式f（x）≤kx對任意x∈[0，+∞）都成立．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查函數的最值及其幾何意義，突出考查等價轉化思想與數形結合思想的綜合運用，考查推理、運算及作圖能力，屬于難題．