Question

15．已知直線y=kx與函數f（x）=e^x（其中e為自然對數的底數）的圖象相切，則實數k的值為e；切點坐標為（1，e）．

Answer 1

分析 根據函數f（x）的解析式設出切點的坐標，根據設出的切點坐標和原點求出切線的斜率，同時由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，進而得到切點坐標，切線的斜率．

解答 解：設切點坐標為（a，e^a），
又切線過（0，0），得到切線的斜率k=$\frac{{e}^{a}}{a}$，
又f′（x）=e^x，把x=a代入得：斜率k=f′（a）=e^a，
則e^a=$\frac{{e}^{a}}{a}$，由于e^a＞0，則得到a=1，
即切點坐標為（1，e），切線的斜率k=e．
故答案為：e；（1，e）．

點評 此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程，注意要區別在某點處的切線，解題的關鍵是確定切點，本題是一道基礎題．