Question

12．若${（{x^2}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$（n∈N^*）的二項展開式中第3項和第5項的二項式系數相等，則展開式中系數最大的項的系數為$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 根據在${（{x^2}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$（n∈N^*）的展開式中第3項與第5項的二項式系數相等，得到${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{4}$，解得n=6，寫出二項式的通項公式，設二項式（x²+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的展開式的系數最大的項為第r+1項，所以$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{r+1}≥{T}_{r}}\\{{T}_{r+1}≥{T}_{r+2}}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求系數．

解答 解：若${（{x^2}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$（n∈N^*）的二項展開式中第3項和第5項的二項式系數相等，
則${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{4}$，解得n=6，
二項式（x²+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的展開式通項公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$（x²）^6-r（$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）^r=${C}_{6}^{r}$（$\frac{1}{2}$）^rx${\;}^{12-\frac{5r}{2}}$，
設二項式（x²+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的展開式的系數最大的項為第r+1項，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{r+1}≥{T}_{r}}\\{{T}_{r+1}≥{T}_{r+2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{6}^{r}（\frac{1}{2}）^{r}{≥C}_{6}^{r-1}（\frac{1}{2}）^{r-1}}\\{{C}_{6}^{r}（\frac{1}{2}）^{r}{≥C}_{6}^{r+1}（\frac{1}{2}）^{r+1}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}$≤r≤$\frac{7}{3}$，r為正整數
所以r=2，
則展開式中系數最大的項為第3項，即系數為${C}_{6}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{15}{4}$．
故答案為：$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查二項式系數的性質，本題解題的關鍵是正確利用二項式系數的性質，注意和組合數聯系，本題是中檔題．