Question

12．已知函數f（x）=（x+a）lnx，g（x）=$\frac{x^2}{e^x}$．已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x-y=0平行．
（1）求a的值；
（2）證明：方程f（x）=g（x）在（1，2）內有且只有一個實根．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數，可得x=1處切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程即可得到所求值．
（2）令$h（x）=f（x）-g（x）=（x+1）lnx-\frac{x^2}{e^x}$，x∈（1，2），由$h（1）=-\frac{1}{e}＜0$，$h（2）=3ln2-\frac{4}{e^2}＞0$，可得函數h（x）在（1，2）內一定有零點，進而證明h′（x）＞0，可得h（x）在（1，2）上單調遞增，即可得證．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）$f'（x）=lnx+\frac{a}{x}+1$，
由題意知，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2，
則f'（1）=2，
所以a+1=2，解得a=1．…（4分）
（2）令$h（x）=f（x）-g（x）=（x+1）lnx-\frac{x^2}{e^x}$，x∈（1，2），
則$h（1）=-\frac{1}{e}＜0$，$h（2）=3ln2-\frac{4}{e^2}＞0$，
所以h（1）h（2）＜0，
所以函數h（x）在（1，2）內一定有零點，…（8分）
可得$h'（x）=lnx+\frac{x+1}{x}-\frac{{2x-{x^2}{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=lnx+\frac{1}{x}+1-\frac{{-{{（x-1）}^2}+1}}{e^x}＞1-\frac{1}{e}＞0$，
∴h（x）在（1，2）上單調遞增，
所以函數h（x）在（1，2）內有且只有一個零點，
即方程f（x）=g（x）在（1，2）內有且只有一個實根．…（12分）

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，考查函數的零點判定定理，正確求導是解題的關鍵，屬于中檔題．