Question

設a+b=3，b＞0，則當a=

 

時，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：需要分類討論，當0＜a＜3和當a＜0，利用基本不等式即可得到結論

解答： 解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3-a＞0，即a＜3，
當0＜a＜3時，

1

3|a|

+

|a|

b

=

a+b

9a

+

a

b

=

1

9

+

b

9a

+

a

b

≥

1

9

+2

b 9a • a b

=

1

9

+

2

3

=

7

9

，當且僅當a=

3

4

取等號，
故當a=

3

4

時，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值；
當a＜0時，

1

3|a|

+

|a|

b

=-

a+b

9a

-

a

b

=-

1

9

-

b

9a

-

a

b

≥-

1

9

+2

b -9a • -a b

=-

1

9

+

2

3

=

5

9

，當且僅當a=-

3

2

取等號，
故當a=-

3

2

時，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值；
綜上所述a的值為-

3

2

時，

1

3|a|

+

|a|

b

取得最小值．
故答案為：-

3

2

．

點評：本題考查了基本不等式的應用，需要分類討論，屬于中檔題