Question

20．關于x的方程cos²x+sinx+a=0在$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上有解，則a的取值范圍是$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．

Answer 1

分析 由題意，x的方程cos²x+sinx+a=0在$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上有解，轉化為二次函數值域的問題．

解答 解：由cos²x+sinx+a=0，
轉化為：1-sin²x+sinx+a=0，即（sinx-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}+a$
∵$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上，
sinx∈（0，1）
∴sinx-$\frac{1}{2}$∈（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
則（sinx-$\frac{1}{2}$）²∈[0，$\frac{1}{4}$]
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}+a≤\frac{1}{4}}\\{\frac{5}{4}+a≥0}\end{array}\right.$
∴a的取值范圍是$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．
故答案為$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，屬于中檔題．