Question

9．正項等比數列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₃是函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的極值點，則log₆a₂₀₁₇=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 f′（x）=x²-8x+6，由正項等比數列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₃是函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的極值點，利用韋達定理得a₁×a₄₀₃₃=6，從而${a}_{2017}=\sqrt{{a}_{1}×{a}_{4033}}$=$\sqrt{6}$，由此能求出log₆a₂₀₁₇．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$，
∴f′（x）=x²-8x+6，
∵正項等比數列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₃是函數$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的極值點，
∴a₁×a₄₀₃₃=6，
∴${a}_{2017}=\sqrt{{a}_{1}×{a}_{4033}}$=$\sqrt{6}$，
∴log₆a₂₀₁₇=$lo{g}_{6}\sqrt{6}=\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查對數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意導數性質、韋達定理、等比數列性質的合理運用．