Question

19．自2017年2月底，90多所自主招生試點高校將陸續出臺2017年自主招生簡章，懷化市某學校高三年級為了提高學生自主招生考試的通過率，對A、B、C、D四所國內知名大學2016年自主招生考試的語文和數學的控分做了如下調查：

學校	A	B	C	D
語文（x分）	118	120	114	112
數學 （y分）	116	123	114	119

（Ⅰ）依據上表中的數據用最小二乘法求數學控分$\hat y$關于語文控分x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$及當某高校自主招生考試語文控分為110分時，預測該校的數學控分．
（Ⅱ）依據調查表，懷化市的這所學校從A、B、C、D四所大學任選兩所，求選出的這兩所學校的語文和數學控分都低于120分的概率．
（附：線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中，$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b×\overline x\end{array}\right.$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數，寫出線性回歸方程，利用計算x=110時y的值；
（Ⅱ）利用列舉法計算對應的概率值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（118+120+114+112）=116，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（116+123+114+119）=118，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{（118-116）（116-118）+（120-116）（123-118）+（114-116）（114-118）+（112-116）（119-118）}{{（118-116）}^{2}{+（120-116）}^{2}{+（114-116）}^{2}{+（112-116）}^{2}}$
=$\frac{-4+20+8-4}{4+16+4+16}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\hat a=118-\frac{1}{2}×116=60$，…（4分）
∴線性回歸方程為$\hat y=\frac{1}{2}x+60$；
∴當x=110時，$\hat y=\frac{1}{2}×110+60=115$，
∴當語文控分為110分時，該校的數學控分為115；…（6分）
（Ⅱ）從A，B，C，D四所大學任選兩所共有基本事件6個：
AB，AC，AD，BC，BD，CD；
其中滿足兩所大學的語文控分和數學控分都小于120分的有
AC，AD，CD共3個；…（10分）
故所求的概率為$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$．…（12分）

點評 本題考查了線性回歸方程的應用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題．