Question

11．在△ABC中，a=1，b=$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$，則△ABC的內切圓的半徑是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 先根據正弦定理求出A，得到三角形為直角三角形，設內切圓的半徑為r，再根據三角形的面積可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，化簡計算即可

解答 解：在△ABC中，∵a=1，b=$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$．
∴sinA=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∵a＜b，
∴A=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{2}$，c=2
設內切圓的半徑為r，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，
∴r=$\frac{ab}{a+b+c}$=$\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

點評 本題考查了正弦定理和解直角三角形以及三角形的面積公式，屬于基礎題