Question

14．已知函數$f（x）=ln（{x+\frac{1}{a}}）-ax$（a∈R，且a≠0）．
（1）討論f（x）的單調區間；
（2）若直線y=ax的圖象恒在函數y=f（x）圖象的上方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，求出導函數，根據導函數討論參數a，得出函數的單調區間；
（2）構造函數令h（x）=ax-f（x），則$h（x）=2ax-ln（{x+\frac{1}{a}}）$．問題轉化為h（x）＞0恒成立時a的取值范圍．對參數a進行分類討論，利用導函數得出函數的最值即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域為$（{-\frac{1}{a}，+∞}）$，且$f'（x）=\frac{1}{{x+\frac{1}{a}}}-a=-\frac{{{a^2}x}}{ax+1}$．
①當a＜0時，∵$x＞-\frac{1}{a}$，∴ax＜-1，∴f'（x）＞0，函數在$（{-\frac{1}{a}，+∞}）$是增函數；
②當a＞0時，ax+1＞0，在區間$（{-\frac{1}{a}，0}）$上，f'（x）＞0；在區間（0，+∞）上，f'（x）＜0．
所以f（x）在區間$（{-\frac{1}{a}，0}）$上是增函數；在區間（0，+∞）上是減函數．
（2）令h（x）=ax-f（x），則$h（x）=2ax-ln（{x+\frac{1}{a}}）$．
問題轉化為h（x）＞0恒成立時a的取值范圍．
當a＜0時，取$x=e-\frac{1}{a}$，則h（x）=2ae-3＜0，不合題意．
當a＞0時，h（x）=ax-f（x），則$h（x）=2ax-ln（{x+\frac{1}{a}}）$．
由于$h'（x）=2a-\frac{1}{{x+\frac{1}{a}}}=\frac{{2a（{x+\frac{1}{2a}}）}}{{x+\frac{1}{a}}}$，
所以在區間$（{-\frac{1}{a}，-\frac{1}{2a}}）$上，h'（x）＜0；在區間$（{-\frac{1}{2a}，+∞}）$上，h'（x）＞0．
所以h（x）的最小值為$h（{-\frac{1}{2a}}）$，
所以只需$h（{-\frac{1}{2a}}）＞0$，即$2a•（{-\frac{1}{2a}}）-ln（{-\frac{1}{2a}+\frac{1}{a}}）＞0$，
所以$ln\frac{1}{2a}＜-1$，
所以$a＞\frac{e}{2}$．

點評 本題考查了導函數的綜合應用，難點是對參數的分類討論和構造函數，把恒成立問題轉換為最值問題．