Question

5．已知點Q（5，4），若動點P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x+y-2≤0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$，則|PQ|的最小值為（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{29}$
• C． 5
• D． 以上都不正確

Answer 1

分析 由約束條件作出P點的區域，求出BQ連線的斜率，求得的斜率小于1，可知過Q點作直線x+y-2=0的垂線，垂足在直線上B的下方，由此可知當P在B點處PQ的距離最小．

解答 解：由約束條件滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x+y-2≤0}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$，P（x，y）所在區域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，得B（1，1），
∵k_QB=$\frac{3}{4}$，過Q點與直線x+y-2=0垂直的直線的斜率為1，
∴過Q點作直線x+y-2=0的垂線，垂足在直線上B的下方，
∴可行域內的點P為點B時PQ的值最小，最小值為$\sqrt{（5-1）^{2}+（4-1）^{2}}$=5．
故選：C．

點評 本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，關鍵是找出使PQ值最小的點，是中檔題．