Question

14．已知A（1，-1），B（4，0），C（2，2）．平面區域D由所有滿足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的點P（x，y）組成．若區域D的面積為8，則的a+4b最小值為9．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設P的坐標為（x，y），由已知求出向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的坐標，進而可得cos∠BAC值，求出sin∠BAC，可得區域D的面積S=$\sqrt{10}$（a-1）×$\sqrt{10}$（b-1）×sin∠BAC，然后利用基本不等式求得a+4b的最小值．

解答 解：如圖所示，
延長AB到點N，延長AC到點M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，則四邊形ABEC，ANGM，EHGF均為平行四邊形．由題意可知：點P（x，y）組成的區域D為圖中的四邊形EFGH及其內部．
∵點A（1，-1），B（4，0），C（2，2），
∴$\overrightarrow{AB}$=（3，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，3），
則cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3+3}{\sqrt{10}×\sqrt{10}}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
若平面區域D由所有滿足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的點P（x，y）組成的區域．
則區域D的面積S=$\sqrt{10}$（a-1）×$\sqrt{10}$（b-1）×sin∠BAC=8[ab-（a+b）+1]=8，
∴（a-1）（b-1）=1，即$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$．
∴a+4b=（a+4b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=5+$\frac{a}+\frac{4b}{a}$≥5$+2\sqrt{\frac{a}•\frac{4b}{a}}$=9，當且僅當a=2b=3時取等號．
∴a+4b的最小值為9．
故答案為：9．

點評 本題考查的知識點是平面向量的基本定理，其中求出區域D的面積S=$\sqrt{10}$（a-1）×$\sqrt{10}$（b-1）×sin∠BAC是解答的關鍵，是中檔題．