Question

6．已知函數f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜a的解集為∅，求參數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：去掉絕對值，求得函數f（x）的解析式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x}&{x≥\frac{1}{2}}\\{2-x}&{-1≤x≤0}\\{-3x}&{x＜-1}\end{array}\right.$，分類分別求得f（x）≥2的解，即可求得不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）由題意可知：f（x）≥a對一切實數x恒成立，分類求得函數f（x）的最大值，即可求得參數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當x≥$\frac{1}{2}$時，f（x）=2x-1+x+1=3x，
當-1≤x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=-2x+1+x+1=2-x，
當x＜-1時，f（x）=-2x+1-x-1=-3x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x}&{x≥\frac{1}{2}}\\{2-x}&{-1≤x≤0}\\{-3x}&{x＜-1}\end{array}\right.$，
由f（x）≥2，
則當x≥$\frac{1}{2}$時，f（x）=3x≥2，解得：x≥$\frac{2}{3}$，
當-1≤x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=2-x≥2，解得：-1≤x≤0，
當x＜-1時，f（x）=-3x≥2，解得：x＜-1，
綜上可知：不等式f（x）≥2的解集（-∞，0]∪[$\frac{2}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）由題意可知：f（x）＜a的解集為∅，即f（x）≥a對一切實數x恒成立，
當x≥$\frac{1}{2}$時，f（x）≥3x≥$\frac{3}{2}$，
當-1≤x≤$\frac{1}{2}$，f（x）=2-x≥$\frac{3}{2}$，
當x＜-1時，f（x）=-3x＞3，
綜上可知：f（x）_max=$\frac{3}{2}$，
∴a≤$\frac{3}{2}$．
參數a的取值范圍（-∞，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查求含絕對值的函數得解析式的方法，考查不等式的解法，考查不等式恒成立問題的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．