Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n
（1）若a_n=2n+1，則S_n=n²+2n，
（2）若a_n+S_n=1，則S_n的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 （1）a_n=2n+1，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出S_n．
（2）由a_n+S_n=1，可得n≥2時(shí)S_n-S_n-1+S_n=1，化為：S_n-1=$\frac{1}{2}$（S_n-1-1），n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n，利用單調(diào)性即可得出范圍．

解答 解：（1）a_n=2n+1，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（2）∵a_n+S_n=1，
∴n≥2時(shí)S_n-S_n-1+S_n=1，
化為：S_n-1=$\frac{1}{2}$（S_n-1-1），
n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列{S_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
∴S_n-1=$-\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴S_n=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$∈[$\frac{1}{2}$，1）．
故答案為：n²+2n；[$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)與求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．