Question

13．極坐標系與直角坐標系xoy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，曲線C₁的極坐標方程為ρ²cos2θ=3，曲線C₂的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=t+m}\\{y=2t-1}\end{array}}\right.$，（t是參數，m是常數）
（1）求C₁的直角坐標方程和C₂的普通方程；
（2）若C₂與C₁有兩個不同的公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標互化，以及參數方程與普通方程的互化求解即可．
（2）聯立兩個普通方程，利用判別式列出不等式求解即可．

解答 解：（1）由極坐標與直角坐標互化公式得${C_1}：{ρ^2}（{cos^2}θ-{sin^2}θ）=3$，所以x²-y²=3；---------------（2分）
消去參數t得C₂的方程：y=2x-2m-1----------------------（4分）
（2）由（1）知C₁是雙曲線，C₂是直線，把直線方程代入雙曲線方程消去y得：3x²-4（2m-1）x+4m²+4m+4=0，-------------------------（7分）
若直線和雙曲線有兩個不同的公共點，則△=16（2m-1）²-12（4m²+4m+4）＞0，
解得：m＞1或m＜-2-----------（10分）

點評 本題考查參數方程以及極坐標方程與普通方程的互化，直線與雙曲線的位置關系的應用，考查計算能力．