Question

13．已知曲線C₁：ρ=4sinα，直線C₂：α=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），點P（x，y）在曲線C₁上
（1）求2x+y的取值范圍；
（2）若曲線C₁與曲線C₂相交，求交點間的距離；若不相交，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出曲線曲線C₁是圓心為C₁（0，2），半徑r=2的圓，設P（2cosθ，2+2sinθ），利用三角函數性質能求出2x+y的取值范圍．
（2）直線C₂：y=x，則圓心到C₂的距離為d=$\sqrt{2}$，由此能求出結果．

解答 解：（1）曲線C₁：ρ=4sinα，即ρ²=4ρsinα，
∴x²+y²=4y，整理，得x²+（y-2）²=4，
∴曲線C₁是圓心為C₁（0，2），半徑r=2的圓，
圓的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數），
∵點P（x，y）在曲線C₁上，∴設P（2cosθ，2+2sinθ），
∴2x+y=4cosθ+2+2sinθ=2$\sqrt{5}$cos（θ-φ）+2∈[2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$]，
∴2x+y的取值范圍是[2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$]．
（2）由（1）知C₁：x²+（y-2）²=4，
∵直線C₂：α=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），∴C₂：y=x，
圓心C₁（0，2），則圓心到C₂的距離為d=$\sqrt{2}$＜2，
故直線C₁與圓C₂相交．
則|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-p9vv5xb5^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查代數式的取值的求法，考查直線與圓的位置關系的判斷，考查弦長的求法，涉及到極坐標方程、參數方程、直角坐標方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．