Question

1．如圖所示，已知單位正方體ABCD-A′B′C′D′，E是正方形BCC′B′的中心．
（1）求AE與下底面所成角的大小；
（2）求異面直線AE與DD′所成的角的大小．
（理科）（3）求二面角E-AB-C的大小．

Answer 1

分析 （1）過E作EF⊥平面ABCD，F為垂足，∠EAF就是求AE與下底面所成角的大小，由此能求出AE與下底面所成交的大小．
（2）由EF∥CC'∥DD'，知∠AEF就是異面直線AE與DD'所成的角，由此能求出AE與DD'所成交的大小．
（3）由BE⊥AB，BC⊥AB，知∠EBC就是二面角E-AB-C的平面角，由此能求出二面角E-AB-C的大小．

解答 解：（1）過E作EF⊥平面ABCD，F為垂足，
∴AF是AE在底面ABCD上的射影，
∴∠EAF就是求AE與下底面所成角的大小，（2分）
在Rt△EAF中，tan∠EAF=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$∠EAF=arctan\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，（3分）
∴AE與下底面所成角的大小為$arctan\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（2）∵EF∥CC'∥DD'，
∴∠AEF就是異面直線AE與DD'所成的角，（2分）
在Rt△EAF中，tan∠AEF=$\frac{AF}{EF}=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，
$∠AEF=arctan\sqrt{5}$，
因此，AE與DD'所成交的大小為$arctan\sqrt{5}$．                     （3分）
（3）∵AB⊥平面BCC'B'，∴BE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EBC就是二面角E-AB-C的平面角，（2分）
∴∠EBC=45°，
∴二面角E-AB-C的大小為 45°（2分）

點評 本題考查線面角、二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．