Question

16．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為$2\sqrt{3}$，離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P（0，3）的直線m與橢圓C交于A，B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率．

Answer 1

分析 （1）由橢圓短軸長為$2\sqrt{3}$，離心率為$\frac{1}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）P（0，3），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則2x₁=0+x₂，2y₁=3+y₂，設直線m的方程為y=kx+3，聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得：（3+4k²）x²+24kx+24=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合橢圓性質能求出直線m的斜率．

解答 解：（1）∵橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為$2\sqrt{3}$，離心率為$\frac{1}{2}$，
∴設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{2b=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）P（0，3），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A是PB的中點，∴2x₁=0+x₂，2y₁=3+y₂，
橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的上下頂點分別是（0，$\sqrt{3}$），（0，-$\sqrt{3}$），
經檢驗直線m不經過這2點，即直線m斜率k存在，
設直線m的方程為y=kx+3，
聯立橢圓和直線方程，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（3+4k²）x²+24kx+24=0，
△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-24k}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{24}{3+4{k}^{2}}$，
$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}+2$，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{（-24k）^{2}}{（3+4{k}^{2}）•24}$=$\frac{9}{2}$，解得k=$±\frac{3}{2}$，
所以，直線m的斜率k=$±\frac{3}{2}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、橢圓性質的合理運用．