Question

14．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=1，AA₁=2，S是A₁C₁的中點
（1）求證：AC⊥SD；
（2）求三棱錐A₁-BC₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，AC⊥B₁D₁，DD₁⊥AC，從而AC⊥平面BB₁D₁D，由此能證明AC⊥SD．
（2）由S是A₁C₁中點，可得A₁C₁=2SC₁，三棱錐A₁-BC₁D的體積${V_{{A_1}-B{C_1}D}}=2{V_{S-B{C_1}D}}=2{V_{{C_1}-BSD}}=2×\frac{1}{3}•S{\;}_{△BSD}•{C_1}S$．由此能求出結果．

解答 證明：（1）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
底面ABCD是正方形，可得AC⊥BD，
又BD∥B₁D₁，所以AC⊥B₁D₁①
由DD₁⊥平面ABCD，可得DD₁⊥AC②
由①②，且B₁D₁∩DD₁=D₁，
所以AC⊥平面BB₁D₁D，
而SD?平面BB₁D₁D，所以AC⊥SD．
解：（2）由S是A₁C₁中點，可得A₁C₁=2SC₁，
由（1）中AC⊥平面BB₁D₁D，
可知A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，即C₁S⊥平面SBD，
所以三棱錐A₁-BC₁D的體積：
${V_{{A_1}-B{C_1}D}}=2{V_{S-B{C_1}D}}=2{V_{{C_1}-BSD}}=2×\frac{1}{3}•S{\;}_{△BSD}•{C_1}S=2×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．