Question

10．已知關(guān)于x的不等式kx²-2x+3k＜0．
（1）若不等式的解集為{x|x＜-3或x＞-1}，求k的值；
（2）若不等式的解集為∅，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式與對應(yīng)一元二次方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值；
（2）根據(jù)不等式kx²-2x+3k＜0的解集為∅，討論k的取值，求出結(jié)果即可．

解答 解：（1）由不等式的解集為{x|x＜-3或x＞-1}，
可知k＜0，-3和-1是一元二次方程kx²-2x+3k=0的兩根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-3×（-1）=3}\\{-3+（-1）=\frac{2}{k}}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$；
（2）因不等式kx²-2x+3k＜0的解集為∅，
若k=0，則不等式-2x＜0，
此時x＞0，不合題意；
若k≠0，則$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\△=4-4k×3x≥0\end{array}\right.$，
解得$0＜k≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．