Question

10．若f（x）=x-1-alnx，g（x）=$\frac{ex}{e^x}$，a＜0，且對任意x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|$\frac{1}{{g（{x_1}）}}$-$\frac{1}{{g（{x_2}）}}$|的恒成立，則實數a的取值范圍為[3-$\frac{2}{3}{e}^{2}$，0）．

Answer 1

分析 由題意可設x₁＜x₂，則$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜|\frac{1}{{g（{x_1}）}}-\frac{1}{{g（{x_2}）}}|$ 等價于$f（{x_2}）-f（{x_1}）＜\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}$，即$f（{x_2}）-\frac{1}{{g（{x_2}）}}＜f（{x_1}）-\frac{1}{{g（{x_1}）}}$；
令h（x）=f（x）-$\frac{1}{g（x）}$，轉化為h（x）在x∈（3，4）上恒成立問題．

解答 解：易知$f（x），\frac{1}{g（x）}$在x∈[3，4]上均為增函數，
不妨設x₁＜x₂，則$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜|\frac{1}{{g（{x_1}）}}-\frac{1}{{g（{x_2}）}}|$ 等價于$f（{x_2}）-f（{x_1}）＜\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}$，
即$f（{x_2}）-\frac{1}{{g（{x_2}）}}＜f（{x_1}）-\frac{1}{{g（{x_1}）}}$；
令$h（x）=f（x）-\frac{1}{g（x）}=x-1-alnx-\frac{e^x}{ex}$，則h（x）在x∈[3，4]為減函數，
則$h{（x）^'}=1-\frac{a}{x}-\frac{{{e^x}（{x-1}）}}{{e{x^2}}}≤0$在x∈（3，4）上恒成立，
∴$a≥x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}，x∈[{3，4}]$恒成立；
令$u（x）=x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}，x∈[{3，4}]$，
∴$u'（x）=1-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}（x-1）}}{x^2}=1-{e^{x-1}}[{{{（{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]，x∈[{3，4}]$，
∴u（x）為減函數，∴u（x）在x∈[3，4]的最大值為$u（3）=3-\frac{2}{3}{e^2}$；
綜上，實數a的取值范圍為[3-$\frac{2}{3}{e}^{2}$，0）．
故答案為：[3-$\frac{2}{3}{e}^{2}$，0）．

點評 本題主要考查函數導數的有關知識，考查靈活運用有關基礎知識解決問題的能力．本題屬于難題．