Question

18．設函數(shù)y=f（x）的定義域為R，并且滿足f（x-y）=f（x）-f（y），且f（2）=1，當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；
（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0-0）=f（0）-f（0），即可得出f（0）．
（2）任取x₁，x₂∈R，不妨設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0．根據(jù)當x＞0時，f（x）＞0．可得f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0，∴即可得出單調(diào)性．
（3）由f（x-y）=f（x）-f（y），可得f（x）=f（x-y）+f（y），可得2=f（2）+f（2）=f（4），于是f（x）+f（x+2）＜2，轉(zhuǎn)化為：f（x）+f（x+2）＜f（4）．即f（x+2）＜f（4-x）．再利用函數(shù)y=f（x）在定義域R上單調(diào)遞增，即可得出．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0-0）=f（0）-f（0），∴f（0）=0．
（2）函數(shù)y=f（x）在定義域R上單調(diào)遞增，理由如下：
任取x₁，x₂∈R，不妨設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0．
∵當x＞0時，f（x）＞0．
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在定義域R上單調(diào)遞增．
（3）∵f（x-y）=f（x）-f（y）．
∴f（x）=f（x-y）+f（y），
∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（2）+f（4-2）=f（4），
∵f（x）+f（x+2）＜2，
∴f（x）+f（x+2）＜f（4）．
∴f（x+2）＜f（4）-f（x）=f（4-x）．
∵函數(shù)y=f（x）在定義域R上單調(diào)遞增，∴x+2＜4-x，
從而x＜1．
∴x的取值范圍為{x|x＜1}．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性與求值、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．