Question

9．已知等差數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（2n+1），求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（2n+1），兩邊同除2ⁿ⁺¹可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2n+1，利用“累加求和”方法、等差數列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（2n+1），
兩邊同除2ⁿ⁺¹可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2n+1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$（\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}）$+$（\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}-\frac{{a}_{n-2}}{{2}^{n-2}}）$+…+$（\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{2}）$+$\frac{{a}_{1}}{2}$
=（2n-1）+（2n-3）+…+3+$\frac{1}{2}$
=$\frac{（n-1）（2n-1+3）}{2}$+$\frac{1}{2}$
=n²-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=n²•2ⁿ-2^n-1．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式與求和公式、“累加求和方法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．