Question

6．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{3}$，AA₁=2，AD=1，E、F分別是AA₁和BB₁的中點，G是DB上的點，且DG=2GB．
（Ⅰ）求三棱錐B₁-EBC的體積；
（Ⅱ）作出長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EB₁C所截的截面（只要作出，說明結果即可）；
（Ⅲ）求證：GF∥平面EB₁C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${S}_{△{B}_{1}BC}=\frac{1}{2}B{B}_{1}×BC=1$，點E到平面B₁BC的距離為AB=$\sqrt{3}$，由此能求出三棱錐B₁-EBC的體積．
（Ⅱ）取AD的中點M，連結EM，MC，則EMCB₁是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EB₁C所截的截面．
（Ⅲ）設MC∩DB=N，連結B₁N，推導出FG∥B₁N，由此能證明GF∥平面EB₁C．

解答 解：（Ⅰ）∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{3}$，AA₁=2，AD=1，
E、F分別是AA₁和BB₁的中點，G是DB上的點，且DG=2GB，
∴${S}_{△{B}_{1}BC}=\frac{1}{2}B{B}_{1}×BC=1$，
點E到平面B₁BC的距離為AB=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐B₁-EBC的體積V=$\frac{1}{3}$×${S}_{△{B}_{1}BC}$×AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅱ）取AD的中點M，連結EM，MC，
則EMCB₁是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EB₁C所截的截面．
證明：（Ⅲ）設MC∩DB=N，連結B₁N，
依題意知AD∥BC，∴△DMN∽△BCN，
∴$\frac{DN}{BN}=\frac{DM}{BC}=\frac{1}{2}$，
又∵DG=2GB，∴DN=NG=GB，
又∵B₁F=FB，∴FG∥B₁N，
∵FG?平面EB₁C，∴B₁N?平面EB₁C，
∴GF∥平面EB₁C．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查截面的求法，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要  認真審題，注意空間思維能力的培養．