Question

16．方程x²+$\sqrt{2}$x-1=0的解可視為函數y=x+$\sqrt{2}$與函數y=$\frac{1}{x}$的圖象交點的橫坐標，若x⁴+ax-4=0的各實根x₁、x₂、…、x_k（k≤4）所對應的點（x_i，$\frac{4}{{x}_{i}}$）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同一側，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-6）
• B． （-∞，-6）∪（6，+∞）
• C． （6，+∞）
• D． （-6，6）

Answer 1

分析 原方程等價于x³+a=$\frac{4}{x}$，原方程的實根是曲線y=x³+a與曲線y=$\frac{4}{x}$的交點的橫坐標：分a＞0與a＜0討論，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：方程的根顯然x≠0，原方程等價于x³+a=$\frac{4}{x}$，
原方程的實根是曲線y=x³+a與曲線y=$\frac{4}{x}$的交點的橫坐標；
而曲線y=x³+a是由曲線y=x³向上或向下平移|a|個單位而得到的．
若交點（x_i，$\frac{4}{{x}_{i}}$）（i=1，2，k）均在直線y=x的同側，
因直線y=x³與y=$\frac{4}{x}$交點為：（-2，-2），（2，2）；

所以結合圖象可得：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{x}^{3}+a＞-2}\\{x≥-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{x}^{3}+a＜2}\\{x≤2}\end{array}\right.$
解得a＞6或a＜-6，即實數a的取值范圍是（-∞，-6）∪（6，∞），
故選：B

點評 本題考查函數與方程的綜合運用，利用數形結合是解決本題的關鍵．注意合理地進行等價轉化．