Question

4． 如圖，點M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，且點M到兩焦點的距離之和為6．
（1）求橢圓的方程；
（2）設MO（O為坐標原點）處置的直線交橢圓于A，B（A，B不重合），求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知條件設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，把點M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）代入，能求出橢圓的方程．
（2）設AB的方程為y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+m，聯立橢圓方程，得11x²-6$\sqrt{6}$mx+6m²-18=0，由△＞0求出0≤m²＜$\frac{33}{2}$，由此能求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0）F₂（c，0）．
點M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）在橢圓上，且點M到兩焦點距離之和為6，
∴2a=6，a=3，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
把點M（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$ ）代入，得$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
解得b²=3，
∴橢圓的方程為 $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）∵k_MO=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，與MO（O為坐標原點）垂直的直線交橢圓于A，B（A，B不重合），
∴設AB的方程為y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+m，
聯立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ y=-\frac{\sqrt{6}}{2}x+m\end{array}\right.$，消去y，得：
11x²-6$\sqrt{6}$mx+6m²-18=0，
△=（6$\sqrt{6}$m）²-4×11×（6m²-18）＞0，
解得m²＜$\frac{33}{2}$，
即0≤m²＜$\frac{33}{2}$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{6\sqrt{6}m}{11}$，x₁x₂=$\frac{6{m}^{2}-18}{11}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{5}{2}$x₁x₂-$\frac{\sqrt{6}}{2}$m（x₁+x₂）+m²=$\frac{8{m}^{2}-45}{11}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[-$\frac{45}{11}$，$\frac{87}{11}$）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數量積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式和韋達定理的合理運用．