Question

14．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與直線y=3x+b在x=1處相切，求實數a，b的值；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若a=0時，函數h（x）=f（x）+bx有兩個不同的零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據導數的幾何意義即可求出k，b的值，
（Ⅱ）先求導，再分類討論，根據導數和函數的單調性關系即可求出．
（Ⅲ）當a=0時，若函數h（x）有兩個不同的零點，利用數形結合即可求b的取值范圍；

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+lnx，x＞0，
∴f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$，
∵曲線y=f（x）與直線y=3x+b在x=1處相切，
∴f′（1）=a+1=3，
∴a=2，
∴f（1）=1+ln1=1，
∴1=3+b，
∴b=-2，
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$，
當a≥0時，f′（x）=ax+$\frac{1}{x}$＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＜0時，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{1}{-a}}$=$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$，
當x∈（0，$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$）時，f′（x）＞0，函數單調遞增，
當x∈（$\frac{\sqrt{-a}}{-a}$，+∞）時，f′（x）＜0，函數單調遞減，
（Ⅲ）a=0時，函數h（x）=f（x）+bx=lnx+bx
令m（x）=lnx，n（x）=-bx，
要使得h（x）有兩個零點，即使得m（x）和n（x）圖象有兩個交點（如圖），
容易求得m（x）和n（x）的切點為（e，1），
∴0＜-b＜$\frac{1}{e}$，即-$\frac{1}{e}$＜b＜0．

點評 本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，考查考生的應用，運算量大，綜合性較強，屬于難題