Question

18．如圖，正方形ABCD與梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=$\frac{1}{2}$PD=1．
（1）求證：MB∥平面PDC；
（2）求二面角M-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AB∥CD，MA∥PD，從而平面ABM∥平面PDC，由此能證明MB∥平面PDC．
（2）推導出CD⊥PD，AD⊥PD，AD⊥DC，以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M-PC-D的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，
又∵MA∥PD，…（1分）
AB∩MA=A，CD∩PD=D，
AB?平面ABM，MA?平面ABM，CD?平面PDC，PD?平面PDC，
∴平面ABM∥平面PDC，（3分）
∵MB?平面ABM，
∴MB∥平面PDC．（4分）
解：（2）∵正方形ABCD與梯形AMPD所在的平面互相垂直，
平面ABCD∩平面AMPD=AD，在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∴CD⊥平面AMPD，∴CD⊥PD．（6分）
又AD⊥PD，AD⊥DC，
以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標系，（7分）
則M（1，0，1），P（0，0，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{DA}=（1，0，0）$是平面PCD的一個法向量
設平面MPC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=x-y+z=0}\end{array}\right.$，（9分）
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），（10分）
則cos＜$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$，（11分）
設二面角M-PC-D為θ，由圖可知θ為銳角，
所以二面角M-PC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．