Question

已知△ABC，點M在邊BC上，且

BM

=

1

2

MC

，過M作GH分別與射線AB，AC交于G，H，且

AG

=λ

AB

，

AH

=μ

AC

，則λ+μ的最小值是（　　）

• A、1+

  2 2

  3

• B、3+2

  2

• C、

  4 2

  3

• D、1-

  2

  2

Answer 1

考點：平行向量與共線向量

專題：導數的綜合應用,平面向量及應用

分析：首先根據的向量的幾何意義，利用P，M，Q三點共線，得出m，n的關系，分別令

1

μ

=x，

1

λ

=y，f（x）=λ+μ，得到關于x的函數關系式，在求導，根據導數求最小值．

解答： 解：如圖，∵

BC

=

AC

-

AB

，

BM

=

1

2

MC

，
∴

BM

=

1

3

BC

=

1

3

（

AC

-

AB

），
∴

AM

=

AB

+

BM

=

1

3

AC

+

2

3

AB

，
∵

AG

=λ

AB

，

AH

=μ

AC

，
∴

AM

=

1

3μ

AH

+

2

3λ

AG

，
∵G，M，H三點共線，
∴

1

3μ

+

2

3λ

=1，
令

1

μ

=y，

1

λ

=x，
∴

y

3

+

2x

3

=1，
∴y=3-2x，
∵x＞0，y＞0
∴0＜x＜

3

2

，
令f（x）=λ+μ=

1

x

+

1

y

=

1

x

+

1

3-2x

，
∴f′（x）=

2

(3-2x)2

-

1

x2

，
令f′（x）=0，解得x=

6-3 2

2

，或x=

6+3 2

2

＞

3

2

（舍去），
當x=

6-3 2

2

時，f（x）有最小值，
∴f（x）_min=1+

2 2

3

，
故選：A

點評：本題考查了向量的幾何意義以及三點共線定理以及利用到導數來求函數的最小值問題，是一道綜合題目，涉及知識點比較多，考查了化歸思想，方程的思想．屬于難題．