Question

8．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAB=90°，AC=AB=AA₁，則異面直線AC₁，A₁B所成角的余弦值為（　�。�

• A． $-\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AC₁，A₁B所成角的余弦值．

解答 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAB=90°，
∴以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設AC=AB=AA₁=1，
則A（0，0，0），C₁（0，1，1），A₁（0，0，1），B（1，0，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，-1），
設異面直線AC₁，A₁B所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}B}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴異面直線AC₁，A₁B所成角的余弦值為$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．