Question

18．在平行四邊形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}$|=8，|$\overrightarrow{AD}$|=6，N為DC的中點，$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MC}$，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{NM}$=（　　）

• A． 48
• B． 36
• C． 24
• D． 12

Answer 1

分析 先畫出圖形，根據條件及向量加減法的幾何意義即可得出$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）$，這樣進行數量積的運算即可求出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{NM}$的值．

解答 解：如圖，

$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MC}$，∴$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{NM}=（\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）•[\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）]$
=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{4}{9}{\overrightarrow{BC}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（64-16）$
=24．
故選：C．

點評 考查向量數乘的幾何意義，相反向量的概念，以及向量的數乘運算，向量數量積的運算．