Question

17．設(shè)函數(shù)$f（x）=\sqrt{ln（x+1）+2x-a}$（a∈R）．若存在x₀∈[0，1]使得f（f（x₀））=x₀，則a的取值范圍是[-1，2+ln2]．

Answer 1

分析 由f（f（x₀））=x₀得f^-1（x₀）=f（x₀），
根據(jù)f（x）與f^-1（x）的對(duì)稱(chēng)關(guān)系可得f（x₀）=x₀，
于是f（x₀）∈[0，1]，分離參數(shù)得到a的范圍．

解答 解：∵f（f（x₀））=x₀，
∴f^-1（x₀）=f（x₀），
∵f^-1（x）和f（x）關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
∴f（x₀）=x₀，
∵x₀∈[0，1]，
∴0≤$\sqrt{ln{（x}_{0}+1）+{2x}_{0}-a}$≤1，
即0≤ln（x₀+1）+2x₀-a≤1．
∴-[ln（x₀+1）+2x₀]≤-a≤1-[ln（x₀+1）+2x₀]
∴[ln（x₀+1）+2x₀]-1≤a≤ln（x₀+1）+2x₀]
∵存在x₀∈[0，1]使f（f（x₀））=x₀，
∴-1≤a≤2+ln2．
故答案為：[-1，2+ln2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)最值的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目．