Question

4．已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a²=b²+c²-bc，a=3，則△ABC 的周長的最大值為（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 6
• C． $\sqrt{3}$
• D． 9

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求A，利用a=3和sinA的值，根據正弦定理表示出b和c，代入三角形的周長a+b+c中，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可得到周長的最大值．

解答 解：∵a²=b²+c²-bc，可得：bc=b²+c²-a²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴由a=3，結合正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
則a+b+c=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sinC
=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=3+3$\sqrt{3}$sinB+3cosB
=3+6sin（B+$\frac{π}{6}$），
可知周長的最大值為9．
故選：D．

點評 此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的值域，是一道中檔題．