Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{x-b}{x}$，其中b為常數(shù)，且b＞0．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直，求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值為$\frac{1}{3}$，求實數(shù)b的值．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)與斜率之間的關系，知f'（1）=-1求出b值，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）分類討論b的取值范圍，從而判斷f（x）的在[1，3]上的單調性，利用單調性求函數(shù)最值；

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{x-（x-b）}{{x}^{2}}$=$\frac{x-b}{{x}^{2}}$  （x＞0）
因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直，
所以f'（1）=-1，即1-b=-1，解得b=2；
令f'（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$＜0，結合x＞0得0＜x＜2．
所以函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，2）．
（2）由f'（x）=$\frac{x-b}{{x}^{2}}$（x＞0）可知，當0＜b≤1時，f'（x）＞0在[1，3]上恒成立，
此時f（x）在[1，3]上為增函數(shù)．∴f（x）_min=f（1）=b-1．
令b-1=$\frac{1}{3}$，解得b=$\frac{4}{3}$，∵$\frac{4}{3}$＞1，∴舍去．
當1＜b＜3時，由f'（x）=0得x=b∈（1，3）
當x∈（1，b）時，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，b]上為減函數(shù)；
當x∈（b，3）時，f'（x）＞0，∴f（x）在[b，3]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（b）=lnb；
令lnb=$\frac{1}{3}$，得b=${e}^{\frac{1}{3}}$；
當b≥3時，f'（x）＜0在（1，3）恒成立，此時f（x）在[1，3]上為減函數(shù)．
∴f（x）_min=f（3）=ln3+$\frac{b}{3}$-1
令ln3+$\frac{b}{3}$-1=$\frac{1}{3}$，得b=4-3ln3＜2，故舍去；
綜上：b=${e}^{\frac{1}{3}}$；

點評 本題主要考查了導數(shù)與斜率關系，直線垂直關系以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值問題，屬中等題．