Question

4．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）證明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點，連接OC，OA₁，得出OC⊥AB，OA₁⊥AB，運用AB⊥平面OCA₁，即可證明．
（Ⅱ）易證OA，OA₁，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}$的方向為x軸的正向建立坐標系，可向量的坐標，求出平面BB₁C₁C的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答 （Ⅰ）證明：取AB中點，連接OC，OA₁，
∵CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
∴OC⊥AB，OA₁⊥AB，
∵OC∩OA₁=O，
∴AB⊥平面OCA₁，
∵CA₁?平面OCA₁，
∴AB⊥A₁C；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交線為AB，
所以OC⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC兩兩垂直．
以O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}$的方向為x軸的正向，建立如圖所示的坐標系，
可得A（1，0，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），B（-1，0，0），
則$\overrightarrow{BC}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面BB₁C₁C的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
可取y=1，可得 $\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），故cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$＞=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，
故直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質和平面與平面垂直的判定，屬中檔題．