Question

1．若對于任意的x∈[-1，0]，關于x的不等式3x²+2ax+b≤0恒成立，則a²+b²-2的最小值為（　　）

• A． $-\frac{1}{5}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據二次函數的圖象及性質，求出a，b的關系式，a²+b²看是圓的半徑問題與區域圖的最小值即可求解．

解答 解：對于任意的x∈[-1，0]，關于x的不等式3x²+2ax+b≤0恒成立，
令f（x）=3x²+2ax+b，
即f（x）≤0恒成立，
滿足：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（0）≤0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{3-2a+b≤0}\\{b≤0}\end{array}\right.$
該不等式表示的平面區域如圖中陰影部分所示，
設z=a²+b²-2，a²+b²=2+z；
∴該方程表示以原點為圓心，半徑為$\sqrt{2+Z}$的圓；
原點到直線-2a+b+3=0的距離等于最小的半徑；
∴該圓的半徑$\sqrt{2+z}≥\frac{|3|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$；
解得；$z≥-\frac{1}{5}$
∴a²+b²-2的最小值為$-\frac{1}{5}$．
故選：A．

點評 考查對二次函數圖象的熟練掌握，能畫出不等式組所表示的平面區域，直線的方程，圓的方程，以及數形結合及線性規劃的知識解題的方法．