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19．下列命題中不正確命題的個數是（　　）
①過空間任意一點有且僅有一個平面與已知平面垂直
②過空間任意一條直線有且僅有一個平面與已知平面垂直
③過空間任意一點有且僅有一個平面與已知的兩條異面直線平行
④過空間任意一點有且僅有一條直線與已知平面垂直．

A．

B．

C．

D．

分析以正方體為載體，考查互相垂直的線和平面，能求出結果．

解答解：考察正方體中互相垂直的線和平面．
對于①：過空間任意一點不是有且僅有一個平面與已知平面垂直，
如圖中平面A₁D和平面A₁B與平面AC垂直；故①錯；
對于②：過空間任意一條直線有且僅有一個平面與已知平面垂直，這是正確的．
如圖中，已知平面A₁D和平面A₁B與平面AC垂直；故②正確；
對于③：過空間任意一點不是有且僅有一個平面與已知的兩條異面直線平行，
如圖中：過C₁的與A₁B₁與AD都平行的平面就不存在；故③錯；
對于④：過空間任意一點有且僅有一條直線與已知平面垂直是正確的，故④正確．
故選：B．

點評本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．

練習冊系列答案

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9．

《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在如圖所示的陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE，BD，BE．
（1）證明：DE⊥平面PBC．
（2）試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；
（3）記陽馬P-ABCD的體積為V₁，四面體EBCD的體積為V₂，求$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

10．

如圖，是某班50名學生身高的頻率分布直方圖，那么身高在區間[150，170）內的學生人數為（　　）

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

7．若f（x）是偶函數，它在[0，+∞）上是減函數，且f（lgx）＞f（1），則x的取值范圍是（　　）

A．

（$\frac{1}{10}$，1）

B．

（0，$\frac{1}{10}$）∪（1，+∞）

C．

（0，1）∪（10，+∞）

D．

（$\frac{1}{10}$，10）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且右準線方程為x=5．
（1）求橢圓方程；
（2）過橢圓右焦點F作斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，P為橢圓上一動點，求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

4．

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，M是A₁B₁的中點，則下列四個命題：
①直線BC與平面ABC₁D₁所成的角等于45°；
②四面體ABCD₁在正方體六個面內的投影圖形面積的最小值為$\frac{1}{2}$；
③點M到平面ABC₁D₁的距離是$\frac{1}{2}$；
④BM與CD₁所成的角為$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
其中真命題的序號是①②④．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

11．S_n是等差數列{a_n}的前n項和，如果a₁+a₅=6，那么S₅的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

8．