Question

8．如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，且PA⊥平面ABCD，AB=AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=$\sqrt{3}$平行四邊形T，Q，M，N的四個頂點分別在棱PC、PA、AB、BC的中點．
（1）求證：四邊形TQMN是矩形；
（2）求四棱錐C-TQMN的體積．

Answer 1

分析 （1）先利用中位線定理證明四邊形為平行四邊形，再證明AC⊥平面PAB，得出MN⊥MQ，故而得出結論；
（2）先求出三棱錐T-CMN的體積，則V_C-TQMN=2V_C-TMN=2V_T-CMN．

解答 證明：（1）連接AC，
∵Q，T，M，N分別是PA，PC，AB，BC的中點，
∴QT$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∴QT$\stackrel{∥}{=}$MN，
∴四邊形TQMN是平行四邊形，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=AD=CD=1，∠BAD=120°，
∴AC=$\sqrt{3}$，BC=2，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC，又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，∵MQ?平面PAB，
∴AC⊥MQ，又MN∥AC，
∴MN⊥MQ，
∴四邊形TQMN是矩形．
（2）∵PA=$\sqrt{3}$，T為PC的中點，
∴T到平面ABCD的距離h=$\frac{PA}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵CN=$\frac{1}{2}BC$=1，MN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠ABC=60°，
∴∠MNC=150°，
∴V_C-TQMN=2V_C-TMN=2V_T-CMN=$\frac{2}{3}$S_△CMN•h=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×sin150°×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．