Question

18．定義：若平面點集A中的任一個點（x₀，y₀），總存在正實數r，使得集合（x，y）|$\sqrt{{{（x-{x_0}）}^2}+{{（y-{y_0}）}^2}}＜r\}$⊆A，則稱A為一個開集．給出下列集合：
①{（x，y）|x²+y²=1}；     ②{（x，y）|x+y+2＞0}；
③{（x，y）||x+y|≤6}；      ④$\{（x，y）|0＜{x^2}+{（y-\sqrt{2}）^2}＜1\}$．
其中不是開集的是①③．（請寫出所有符合條件的序號）

Answer 1

分析 根據新定義進行計算后判斷，弄清開集的定義是解決本題的關鍵．即所選的集合需要滿足存在以該集合內任意點為圓心，任意正實數為半徑的圓內部分均在該集合內．初步確定該集合不含邊界

解答 解：對于①：A={（x，y）|x²+y²=1}表示以原點為圓心，1為半徑的圓，則在該圓上任意取點（x₀，y₀），以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足B={（x，y）|$\sqrt{（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}}$＜r}⊆A，
故①不是開集．
對于②：A={（x，y）|x+y+2＞0}平面點集A中的任一點（x₀，y₀），則該點到直線的距離為d，取r=d，則滿足B={（x，y）|$\sqrt{（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}}$＜r}⊆A，
故②是開集；
對于③：A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲線|x+y|=6任意取點（x₀，y₀），以任意正實數r為半徑的圓面，均不滿足B={（x，y）|$\sqrt{（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}}$＜r}⊆A，
故該集合不是開集；
 對于④：A=$\{（x，y）|0＜{x^2}+{（y-\sqrt{2}）^2}＜1\}$表示以點（0，$\sqrt{2}$）為圓心，1為半徑除去圓心和圓周的圓面，在該平面點集A中的任一點（x₀，y₀），則該點到圓周上的點的最短距離為d，取r=d，則滿足B={（x，y）|$\sqrt{（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}}$＜r}⊆A，
故該集合是開集；
故答案為：①③．

點評 本題屬于集合的新定義型問題，考查學生即時掌握信息，解決問題的能力．正確理解好集的定義是解決本題的關鍵