Question

4．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，M是A₁B₁的中點，則下列四個命題：
①直線BC與平面ABC₁D₁所成的角等于45°；
②四面體ABCD₁在正方體六個面內的投影圖形面積的最小值為$\frac{1}{2}$；
③點M到平面ABC₁D₁的距離是$\frac{1}{2}$；
④BM與CD₁所成的角為$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
其中真命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 利用正方體的特征，依次考查和證明每一個選項：M到面ABC₁D₁的距離等于B₁到面ABC₁D₁的距離$\frac{1}{2}$B₁C，BC與面ABC₁D₁所成的角即為∠CBC₁=45°，在四個面上的投影或為正方形或為三角形．最小為三角形；BE與CD₁所成的角即為BE與BA₁所成的角．

解答 解：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，M是A₁B₁的中點，
對于①：BC與面ABC₁D₁所成的角即為∠CBC₁=45°，∴正確．
對于②：在四個面上的投影或為正方形或為三角形．最小為三角形，面積為$\frac{1}{2}$，∴正確．
對于③：M∈A₁B₁，A₁B₁∥面ABC₁D₁，∴M到面ABC₁D₁的距離等于B₁到面ABC₁D₁的距離$\frac{1}{2}$B₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴不對．
對于④：BM與CD₁所成的角即為BM與BA₁所成的角，即∠A₁BM，A₁M=$\frac{1}{2}$，A₁B=2，BM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由余弦定理可得cos∠A₁BE=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴sin∠A₁BM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，BM與CD₁所成的角為$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，∴正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查命題的真假判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．