Question

6．已知點P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．
（1）求M的軌跡方程；
（2）當|OP|=|OM|時，求l的方程及△POM的面積．
（3）在（2）的條件下過圓C：x²+y²-8y=0和l交點且面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓C的方程求出圓心坐標和半徑，設出M坐標，由$\overrightarrow{CM}$與$\overrightarrow{MP}$數量積等于0列式得M的軌跡方程；
（2）設M的軌跡的圓心為N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直線的斜率，由直線方程的點斜式得到PM所在直線方程，由點到直線的距離公式求出O到l的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長間的關系求出PM的長度，代入三角形面積公式得答案；
（3）將直線與圓方程聯立組成方程組，求出方程組的解得到兩交點A與B的坐標，當圓面積最小時，弦AB為直徑，利用兩點間的距離公式求出|AB|的長，即為圓的直徑，確定出圓的半徑，利用線段中點坐標公式求出線段AB的中點坐標，即為圓心坐標，由圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可．

解答 解：（1）圓C的方程可化為x²+（y-4）²=16，
所以圓心為C（0，4），半徑為4．
設M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y）．
由題設知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于點P在圓C的內部，所以M的軌跡方程是（x-1）²+（y-3）²=2．
（2）由（1）可知M的軌跡是以點N（1，3）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓．
由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM．
因為ON的斜率為3，所以直線l的斜率為-$\frac{1}{3}$，
故l的方程為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$．
又|OM|=|OP|=2 $\sqrt{2}$，O到直線l的距離為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
故|PM|=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，所以△POM的面積為$\frac{16}{5}$．
（3）聯立y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$與圓C：x²+y²-8y=0
得：5y²-28y+32=0，
解得：y₁=4，y₂=$\frac{8}{5}$，
當弦AB為直徑時，圓面積最小，
則所求圓的直徑為2R=|AB|=$\sqrt{1+9}•|4-\frac{8}{5}|$=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
圓心為AB中點C（-$\frac{2}{5}$，$\frac{14}{5}$），
則所求面積最小的圓的方程是（x+$\frac{2}{5}$）²+（y-$\frac{14}{5}$）²=$\frac{72}{5}$．

點評 本題考查圓的軌跡方程的求法，訓練了利用向量數量積判斷兩個向量的垂直關系，訓練了點到直線的距離公式的應用，是中檔題．