Question

17．已知函數f（x）=sinx-xcosx．
（I）討論f（x）在（0，2π）上的單調性；
（II）求證：當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）-$\frac{1}{3}$x³＜0．

Answer 1

分析 由f（x）=sinx-xcosx可得f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
（I）利用f′（x）＞0與f′（x）＜0可討論f（x）在（0，2π）上的單調性；
（II）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，當x∈（0，2π）時，通過對g′（x）=xsinx-x²=x（sinx-x）的討論分析可知，g（x）在（0，2π）上單調遞減，從而可證當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）-$\frac{1}{3}$x³＜0．

解答 解：f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
（Ⅰ）f'（x）＞0⇒x∈（0，π），f'（x）＜0⇒x∈（π，2π）f（x）的遞增區間（0，π），遞減區間（π，2π）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，
則g′（x）=xsinx-x²=x（sinx-x），
當x∈（0，2π）時，設t（x）=sinx-x，則t′（x）=cosx-1＜0
所以t（x）在x∈（0，2π）單調遞減，t（x）=sinx-x＜t（0）=0，
即sinx＜x，所以g′（x）＜0
所以g（x）在（0，2π）上單調遞減，所以g（x）＜g（0）=0，
所以f（x）＜$\frac{1}{3}$x³．

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查正弦函數的單調性，突出考查導數法判斷函數的單調性的運用，屬于難題．