Question

11．△ABC中，AB=3，BC=2，CA=$\sqrt{19}$，若點D滿足$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，則△ABD的面積為（　　）

• A． $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
• B． $\frac{9}{8}$
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由向量等式可得BD，在△ABC中，由余弦定理求得角B，則△ABD的面積可求．

解答 解：如圖，∵BC=2，$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，∴BD=$\frac{3}{2}$，DC=$\frac{1}{2}$．
在△ABC中，由AB=3，BC=2，CA=$\sqrt{19}$，利用余弦定理得：
cosB=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-19}{2×2×3}=-\frac{1}{2}$，
∴∠B=120°，則sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$．
故選：A．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應用，是中檔題．