Question

4．設e表示自然對數的底數，函數f（x）=$\frac{{{{（{e^2}-a）}^2}}}{4}+{（x-a）^2}$（a∈R），若關于x的不等式f（x）≤$\frac{1}{5}$有解，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． [e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]
• B． [e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）
• C． （e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]
• D． （e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）

Answer 1

分析 由關于x的不等式f（x）≤$\frac{1}{5}$有解，可得 $\frac{1}{5}$≥$\frac{{{（e}^{2}-a）}^{2}}{4}$有解，可得$\sqrt{\frac{1}{5}}$≥$\frac{{|e}^{2}-a|}{2}$，解絕對值不等式，求得a的范圍．

解答 解：∵函數$f（x）=\frac{{{{（{e^2}-a）}^2}}}{4}+{（x-a）^2}$（a∈R），關于x的不等式$f（x）≤\frac{1}{5}$有解，
即 （x-a）²≤$\frac{1}{5}$-$\frac{{{（e}^{2}-a）}^{2}}{4}$有解，∴$\frac{1}{5}$-$\frac{{{（e}^{2}-a）}^{2}}{4}$≥0 有解，即 $\frac{1}{5}$≥$\frac{{{（e}^{2}-a）}^{2}}{4}$有解，∴$\sqrt{\frac{1}{5}}$≥$\frac{{|e}^{2}-a|}{2}$，
∴|e²-a|≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤a-e²≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，e²-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤a≤e²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故選：A．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的能成立問題，屬于中檔題．