Question

18．f′（x）是f（x）（x∈R）的導函數，滿足f′（x）＞f（x），若a＞0則下列正確的是（　　）

• A． f（a）＞e^af（0）
• B． f（a）＜e^af（0）
• C． f（a）＞f（0）
• D． f（a）＜f（0）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數研究其單調性，注意到已知f'（x）＞f（x），可得g（x）為單調增函數，最后由a＞0，代入函數解析式即可得答案．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f'（x）＞f（x），
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0
∴函數g（x）為R上的增函數
∵a＞0
∴g（a）＞g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
∴f（a）＞e^af（0）
故選：A

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性，恰當的構造函數，并能利用導數研究其性質是解決本題的關鍵．